Enquête sur une tablette mathématique
Par Jacques Lubczanski, professeur agrégé de mathématiques

Vous pouvez retrouver cette séquence dans TDC (Textes et Documents pour la classe), numéro spécial Babylone édité par le SCEREN en partenariat avec le musée du Louvre en mars 2008

Place dans les programmes
Les programmes de mathématiques du Collège et du Lycée comportent des incitations à intégrer des éléments d’histoire des mathématiques dans les progressions pédagogiques.

Pour le Lycée, les séries Scientifiques et Littéraires sont concernées au même titre : « Les élèves doivent prendre conscience du fait que les mathématiques sont une discipline vivante, fruit du labeur et du génie de nombreux individus : connaître au moins le nom de quelques-uns d’entre eux et la période à laquelle ils ont vécu fait partie intégrante du bagage culturel de tout élève ayant une formation scientifique. La plupart des idées ont mis longtemps à émerger : le savoir permettra aux élèves de mieux accepter l’importance du temps qu’il devra passer pour se les approprier. Liberté est laissée au professeur pour l’intégration de cette composante historique et épistémologique ; il conviendra de privilégier la qualité sur la quantité » (Programmes de 1re S). « Quoique faisant partie du patrimoine de l’humanité, il s’avère que la culture scientifique n’a pas actuellement la place qui lui revient dans la culture générale. Pour ce qui concerne les mathématiques, elles ont d’une part une histoire qui est liée à l’évolution des civilisations qui les ont engendrées et qui se continue encore aujourd’hui, et d’autre part des liens avec d’autres champs d’étude importants pour les élèves de cette série, comme la littérature, les arts, la philosophie. » (Programmes de 1re L)

La séquence proposée ici est destinée à des élèves de Lycée, où elle peut être mise en œuvre de la Seconde à la Terminale. On y utilise des identités remarquables et les notions de racine carrée, de distance entre deux nombres et d’inégalités dans le cadre de l’étude d’une tablette babylonienne.

Objectifs et démarche
L’objectif de cette séquence est de permettre aux élèves de comprendre le contenu et la portée de la tablette étudiée, à travers une démarche cohérente au plan historique.
Le contenu : cette tablette donne pour le rapport diagonale/coté du carré une valeur exceptionnellement précise. Le travail mathématique consiste à évaluer cette précision. Son résultat est que la valeur indiquée par la tablette est la meilleure valeur possible avec quatre chiffres significatifs. Le mot « chiffre » renvoie au système savant de numération babylonien, en base 60 : un chiffre est un nombre entre 1 et 59. La valeur proposée par la tablette est r = 1.24.51.10 ; elle est plus proche du rapport diagonale/coté que ses deux voisines à quatre chiffres : p = 1.24.51.09 et q = 1.24.51.11.
Pour prouver que la valeur r est plus proche de la racine carrée de 2 que ses voisines p et q, on calcule les distances entre 2 et les carrés des trois valeurs p, q et r. Mais il faut faire attention : la croissance de la fonction carré permet d’encadrer la racine carrée de 2 entre r et q, mais elle ne suffit pas pour conclure de façon rigoureuse que r est plus près que q de la racine.
Un travail d’encadrement des distances sera nécessaire, basé sur l’identité remarquable a2 - b2 = (a + b) (a – b), où on prendra b2 = 2.

La démarche : pour la tablette « YBC 7289 », nous avons la chance de disposer de photographies et de dessins de très bonne qualité, qui peuvent être projetées en grand format en classe (téléchargeables sur le site http://www.math.ubc.ca/~cass/euclid/ybc/ybc.html).
Face à la photo d’une tablette d’argile séchée vieille de presque 4000 ans, que peut-on dire aujourd’hui ? Est-il possible de se mettre à la place de celui qui l’utilisait, pour en comprendre le contenu de l’intérieur ?
Déchiffrer la tablette est une étape essentielle : il est important que les élèves découvrent l’aspect du « document » mathématique que constitue la tablette. L’énoncé guide l’élève à travers une démarche d’enquête, où on essaiera de lui faire adopter un point de vue « babylonien ». Il s’agit, au cours des calculs, de rester le plus possible au cœur du système de numération utilisé.
Les tablettes ne contiennent ni zéro ni virgule ; pour manipuler confortablement les ordres de grandeurs, nous avons fait le choix d’exprimer les nombres en degrés, minutes, secondes... pour se rappeler que nous sommes en base 60. Ce choix garde néanmoins une part d’exotisme : les nombres entiers deviennent des degrés, et on a besoin d’aller au-delà des secondes, jusqu'aux tierces et aux quartes. Nous savons donc en permanence que nous ne sommes pas « chez nous » dans ce calcul. Ce dépaysement est intéressant pédagogiquement, car il remet en question nos savoir-faire : qu’est-ce qui est encore vrai ? Qu’est-ce qui ne l’est plus ?